Soal Dan Pembahasan Trigonometri

Soal Dan Pembahasan Trigonometri Remedial PAT

Dinda Az Zahra Fitri Noviyanda (10)

X IPS 3

a. Perbandingan Trigonometri

a. 1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2), dan R (-1, 0, 2). Besar sudut PQR adalah ….

Pembahasan:

Segitiga PQR pada soal dapat diilustrasikan seperti berikut.

Mencari panjang RQ:

$\overrightarrow{RQ} = (2-(-1), -3-0, 2-2)=(3,-3,0)$

$|RQ|= \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+0^{2}} =\sqrt{9+9+0}= \sqrt{18}$

Mencari panjang RP:

$\overrightarrow{RP} = (0-(-1), 1-0, 4-2)=(1,1,2)$

$|RQ|= \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}} =\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Mencari besar sudut R:

$\overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RP} = |RP| \cdot |RQ| \cdot Cos \; R$

$(3,-3,0)(1,1,2) = \sqrt{18} \cdot \sqrt{6} \cdot Cos \; R$

$3 - 3 + 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R$

$0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R$

$Cos \; R = \frac{\sqrt{108}}{0}$

$Cos \; R = 0 \rightarrow R = 90^{o}$

Jadi, besar sudut R adalah 90o.

2.Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5, 2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah ...

Pembahasan:

Gambar segitiga ABC yang sesuai pada soal adalah

Mencari panjang AC:

$\overrightarrow{AC} = (1-3, 5-1)=(-2,4)$

$|RQ|= \sqrt{(-2)^{2} + 4^{2}} =\sqrt{ 4 + 4 }= \sqrt{8}$

Mencari panjang AB:

$\overrightarrow{AB} = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1)$

$|RQ|= \sqrt{2^{2} + 1^{2}} =\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

Mencari besar sudut A:

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot Cos \; A$

$(-2,4) \cdot (2, 1) = \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} \cdot Cos \; A$

$-4 + 4 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A$

$0 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A$

$Cos \; A = \frac{\sqrt{40}}{0}$

$Cos \; A = 0 \rightarrow A = 90^{o}$

Jadi, besar sudut A adalah 90o.

3.Diketahui titik P(3, – 1, 2 ), B(1, -2, – 1), dan C(0, 1, 1) membentuk sudut PBC adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan gambar sesuai soal di bawah!

Mencari panjang BP:

$\overrightarrow{BP} = (3 - 1, -1 - (-2), 2 - (-1))=(2, 1, 3)$

$|BP|= \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}} =\sqrt{4+1+9}= \sqrt{14}$

Mencari panjang BC:

$\overrightarrow{BC} = (0 - 1, 1 - (-2), 1- (-1))=(-1, 3, 2)$

$|BC|= \sqrt{(-1)^{2} + 3^{2} + 2^{2}} =\sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

Mencari besar sudut B:

$\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BC} = |BP| \cdot |BC| \cdot Cos \; B$

$(2, 1, 3) \cdot (-1, 3, 2) = \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} \cdot Cos \; B$

$-2 + 3 + 6 = 14 \cdot Cos \; B$

$7 = 14 \cdot Cos \; B$

$Cos \; B = \frac{7}{14}$

$Cos \; B = \frac{1}{2} \rightarrow B = 60^{o}$

Jadi, besar sudut B adalah 60o.

4.Perhatikan gambar di bawah!

Sisno diminta mengukur tinggi tiang bendera menggunakan klinometer. Saat pertama berdiri dengan melihat ujung tiang bendera, terlihat pada klinometer menunjuk pada sudut 60o. Kemudian ia bergerak menjauhi tiang bendera sejauh 10 meter dan terlihat pada klinometer sudut 45o. Tinggi tiang bendera adalah ….

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi berikut.

Mencari nilai t:

$Tan 45^{o} = 1$

$\frac{t}{x + 10} = 1$

$t = x + 10$

Mencari nilai x:

$Tan 60^{o} = \sqrt{3}$

$\frac{x+10}{x} = \sqrt{3}$

$x + 10 = \sqrt{3} x$

$\sqrt{3} x - x = 10$

$x \left( \sqrt{3} - 1 \right) = 10$

$x = \frac{10}{\sqrt{3} - 1}$

Kalikan dengan akar sekawan:

$x = \frac{10}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$

$x = \frac{10 \left( \sqrt{3} + 1 \right)}{2}$

$x = 5 \left( \sqrt{3} + 1 \right)$

$x = 5 \sqrt{3} + 5$

Jadi, tinggi tiang bendera (t) adalah

$t = 10 + x$

$= 10 + 5 \sqrt{3} + 5$

$= 15 + 5 \sqrt{3}$

b. Sudut Berelasi

1.Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 30°

tan 40°

cos 53°

Pembahasan

sin 30° = sin (90° − 70°)

= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)

= sin 37°

Apabila diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 30°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

2. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° ini:

tan 140°

sin 230°

cos 320°

Pembahasan

Sudut 140° ada pada kuadran II, hingga tan 140° memiliki nilai negatif.

tan 140° = tan (180° − 37°)

= -tan 37°

Sudut 230° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 230° = sin (270° − 37°)

= -cos 37°

Coba perhatikan, pada sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)

Baca Juga : Rumus Persegi - Luas, Keliling, Volume dan Contoh Soal

Sudut 320° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 320° = cos (360° − 37°)

= cos 37°

3. Sin 1100 = ...
A. - Cos 200
B. Cos 200
C. Sec 200
D. Cot 200
E. Tan 200

Pembahasan
Sin 1100 = Sin (900 + 200)
Jadi, α = 200 maka Sin 1100 = Cos 200
Jawaban: B

4. Sin 1200 = ...
A. 0
B. - 1/2
C. 1/2
D. 1/2 √2
E. 1/2 √3

Pembahasan
Sin 1200 = Sin (900 + 300)
Jadi, α = 300 maka Sin 1200 = Cos 300 = 1/2 √3
Jawaban: E

c. Aturan Sinus dan Cosinus Dan Luas Segitiga

1. Deketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60°, dan sudut C = 75° jika sin 75° = 0,9659, tentukan panjang BC dan AB

Pembahasan:

2. Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 8 √2 cm, sudut B = 45° tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya.

Pembahasan:

3. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm dan sudut C = 60°, tentukan panjang sisi AB

Pembahasan:

4. Diketahui segitiga ABC, dengan AB = 7 cm, AC = 8 cm, BC = 5 cm, tentukan sin A

Pembahasan:

d. Persamaan Trigonometri

1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ½ …..

A. HP = {30o,120o}

B. HP = {30o,390o}

C. HP = {30o,480o}

D. HP = {120o,480o}

E. HP = {390o,480o}

Jawaban : A

Pembahasan :

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 1

2. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = ½ ….

A. HP = {60o,420o}

B. HP = {60o,300o}

C. HP = {30o,360o}

D. HP = {30o,120o}

E. HP = {-60o,120o}

Jawaban : B

Pembahasan :

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 2

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin x = sin 2/10 π, 0 ≤ x ≤ 2π …..

Jawaban : C

Pembahasan :

4. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin x = 1 , dengan 0o ≤ x ≤ 360o …..

A. HP = {30o,390o}

B. HP = {150o,510o}

C. HP = {60o,390o}

D. HP = {30o,150o}

E. HP = {30o,60o}

Jawaban : D

Pembahasan :

e. Grafik Trigonometri

1.Diketahui fungsi $f(x) = \sqrt{2} Cos 3x + 1$ . Jika nilai maksimum f(x) adalah a dan nilai minimum f(x) adalah b maka nilai a2 + b2 = ….

A. 3

B. 6

C. 12

D. 18

E. 36

Pembahasan:

Diketahui fungsi f(x):

$f(x) = \sqrt{2} Cos \; 3x + 1$

Ingat bahwa nilai maksimum fungsi cosinus adalah 1 dan nilai minimum fungsi cosinus adalah – 1 .

Nilai maksimum = a, maka

$a = \sqrt{2} \cdot 1 + 1$

$a = \sqrt{2} + 1$

Nilai minimum = b, maka

$b = \sqrt{2} \cdot - 1 + 1$

$b = - \sqrt{2} + 1$

Jadi, nilai a2 + b2 adalah

$a^{2} + b^{2} = (\sqrt{2} + 1)^{2} + (\sqrt{2} - 1)^{2}$

$= ( 2 + 2 \sqrt{2} + 1) + ( 2 - 2 \sqrt{2} + 1)$

$= 3 + 2 \sqrt{2} + 3 - 2 \sqrt{2}$

$= 6$

Jawaban: B

2.Perhatikan grafik di bawah!

Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik di atas adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

$\textrm{B.} \; \; \; y = 2 Sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$

$\textrm{C.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right)$

$\textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

$\textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$

Pembahasan:

Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:

$y = A \; \textrm{Sin} \; k (x \pm \alpha ) \pm c$

Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):

Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang $- \frac{pi}{6}$ sampai dengan $\frac{5 \pi }{6}$ memuat setengah periode.

$\frac{\pi}{k} = \left( \frac{5 \pi}{6} - \left( - \frac{\pi}{6} \right) \right)$

$\frac{ \pi }{k} = \frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$\frac{ \pi }{k} = \frac{6 \pi}{6}$

$k = \frac{6 \pi}{6 \pi} = 1$

Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).

3.Diketahui nilai Cos A = $- \frac{4}{5}$ dan sudut A berada di kuadran 2. Nilai dari sin 2A adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; - \frac{6}{5}$

$\textrm{B.} \; \; \; - \frac{13}{25}$

$\textrm{B.} \; \; \; - \frac{24}{25}$

$\textrm{D.} \; \; \; \frac{6}{5}$

$\textrm{E.} \; \; \; \frac{24}{25}$

Pembahasan:

Sudut cos merupakan perbandingan antara sisi samping (x) dan miring (r).

$Cos A = - \frac{4}{5} = \frac{x}{r}$

Untuk mendapatkan nilai sinus, kita membutuhkan nilai sisi depan (y). Gunakan pythagoras agar mendapat nilai sisi depan.

$y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$

$y = \sqrt{5^{2} - 4^{2}}$

$y = \sqrt{25 - 16}$

$y = \sqrt{9} = 3$

Letak sudut berada di kuadran 2, sehingga nilai yang postif hanya untuk fungsi sinus dan cosecan.

$Sin A = \frac{y}{r} = \frac{3}{5}$

$Cos A = \frac{x}{r} = - \frac{4}{5}$

Jadi, nilai Sin 2A adalah

$Sin 2A = 2 \cdot Sin A \cdot Cos A$

$Sin 2A = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot - \frac{4}{5}$

$Sin 2A = - \frac{24}{25}$

Jawaban: C

4.Perhatikan gambar di bawah!

Persamaan grafik fungsi pada gambar di atas adalah ….

A. y = – 2 Sin(3x + 45)o

B. y = – 2 Sin(3x – 45 )o

C. y = – 2 Sin(3x – 45 )o

D. y = 2 Sin(3x + 15)o

E. y = 2 Sin(3x – 45 )o

Pembahasan:

Berdasarkan grafik fungsi trigonometri pada soal dapat diperoleh informasi:

Nilai Amplitudo: A = 2
Periode dari 15o sampai 135o adalah 1, sehingga:
   $\frac{360^{o}}{k} = 135^{o} - 15^{o}$

   $\frac{360^{o}}{k} = 120^{o}$

   $k = \frac{360^{o}}{120^{o}} = 3$
Grafik fungi trigonometri pada soal merupakan grafik dasar fungsi sinus y = Sin x yang digeser ke kana sejauh 15o.