Soal dan Pembahasan Matriks

KESAMAAN MATRIKS

Kesamaan Matrik

1. Tentukanlah nilai x dan z yang memenuhi persamaan matriks berikut ini :
   
   

   

   Pembahasan :
   -1 + 6 = 2 + 2x
   5 = 2 + 2x
   3 = 2x
   x = 3/2
   
   3 + 2 = 3 + z + 1
   5 = 4 + z
   z = 1
   
   
2. Tentukan besar sudut a dan sudut b.
   
   

   

   Pembahasan :
   cos a = 2 + (-2) = 0 ---> a = 90
   sin b = 3 + (2,5) = 0,5 = 1/2 ---> b = 30 
   
   
3. Diketahui persamaan matriks sebagai berikut :
   
   

   

   Tentukanlah nilai a, b, c, dan d.
   
   Pembahasan :
   -a + 3 = 10 ---> a = -7
   
   c - 2 + 10 = -6
   c = - 6 - 8
   c = -14
   
   b + 4 + b + c = -6
   2b + c = -10
   2b - 14 = -10
   2b = 4
   b = 2
   
   2d + d = b - 2
   3d = 2 - 2
   d = 0
   
   
4. Berdasarkan persamaan matriks di bawah ini, tentukanlah nilai a, b, c, dan d.
   
   

   

   Pembahasan :
   2d + d = -2 + (-4)
   3d = -6
   d = -2
   
   a + 2d + 3 = 10 + 2
   a + 2(-2) = 12 - 3
   a - 4  = 9
   a = 9 + 4
   a = 13
   
   b + b + 3c = 16 + 8
   2b + 3c = 24
   
   c - 2 + 2 + b = -6 + 6
   c + b = 0 ---> c = -b ---> substitusi ke persamaan 2b + 3c = 24
   2b + 3(-b) = 24
   2b - 3b = 24
   -b = 24
   b = -24 maka c = 24
   
   Jadi a = 13. b = -24, c = 24, dan d = -2
   

Determinan Matriks

Ordo 2 x 2

1. Tentukanlah determinan matriks dari :

Jawab:

Dari soal di atas terlihat bahwa komponen matriks tersebut adalah a = 3, b = 5, c = 4, dan d = 8. Maka determinan matriks tersebut adalah 

Det A = a.d – b.c

Det A = 3. 8 – 5.4 = 24 – 20 = 4

Jadi, determinan matriks tersebut adalah 4.

2. Tentukanlah determinan matriks dari :

Jawab:

Dari soal terlihat bahwa a = -7, b = 2, c = 3, dan d = 2

Maka determinan matriks B adalah

Det B = a.d – b.c

Det B = −7$-7$.2 – 2.3 = – 14 – 6 = -20

Jadi, determinan matriks B adalah – 20.

3. Diketahui matriks A seperti di bawah ini !

Jika determinan matriks A adalah 18, tentukanlah nilai x.

Jawab :

Terlebih dulu kita daftar saja anggota – anggotanya yaitu a = 3, b = x , c = 2, dan d = 8. determinan matriks A tersebut bisa kita cari dengan

Det A = a.d – b.c

Det A = 3.8 – x.2

Karena determinan A sudah diketahui kita masukkan saja ke dalam rumus, sehingga :

18 = 24 – 2x

2x = 24 – 18

2x = 6

x = 3

jadi nilai x adalah 3, dan matriks A jika ditulis dengan keseluruhan anggotanya menjadi :

Ordo 3 x 3

Tentukanlah determinan dari matriks berikut

Jawaban :

Untuk menentukan determinannya, terlebih dahulu kita keluarkan dua kolom pertamanya, sehingga matriks tersebut menjadi :

Kemudian yang segaris kita kalika dan tandanya mengikuti aturan yang di atas

Det A = 2.4.1 + 3.3.7 + 4.5.0 – 4.4.7 – 2.3.0 – 3.5.1

Det A = 8 + 63 + 0 – 112 – 0 – 15 = – 56

Jadi determinan matriks tersebut adalah -56.

2. Tentukanlah determinan matriks berikut :

Jawab :

Sama dengan cara di atas, Matriks B tersebut kita keluarkan dua kolom pertama, sehingga menjadi :

Kemudian kalikan yang segaris sehingga menjadi :

Det B = 1.0.2 + 3.1.5 + 5.1.1 – 5.0.5 – 1.1.1 – 3. 1. 2

Det B = 0 + 15 + 5 – 0 – 1 – 6 = 13

Dengan demikian determinan B adalah 13.

Kofaktor Matriks

Ordo 2 x 2

Tentukan semua kofaktor dari matriks A=[−143−5]
Jawab
Karena minornya telah dicari sebelumnya yaitu
M11$M_{11}$ = -5
M12$M_{12}$ = 4
M21$M_{21}$ = 3
M22$M_{22}$ = -1
Jadi, kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah
Cij = (-1)i+j${}^{i+j}$ Mij
C11=(−1)1+1(−5)=−5$C_{11}=(-1{)}^{1+1}(-5)=-5$
C12=(−1)1+2(4)=−4$C_{12}=(-1{)}^{1+2}(4)=-4$
C21=(−1)2+1(3)=−3$C_{21}=(-1{)}^{2+1}(3)=-3$
C22=(−1)2+2(−1)=−1

Ordo 3 x 3

Tentukan semua kofaktor matriks B=⎡⎣⎢26114−2−353⎤⎦⎥
Jawab
Minor-minor matriks B (sudah dicari sebelumnya)
M11=22$M_{11}=22$
M12=13$M_{12}=13$
M13=−16$M_{13}=-16$
M21=−3$M_{21}=-3$
M22=9$M_{22}=9$
M23=−5$M_{23}=-5$
M31=17$M_{31}=17$
M32=28$M_{32}=28$

M33=2$M_{33}=2$

Kofaktor-kofaktor matriks B adalah

C11=(−1)1+1(22)=22$C_{11}=(-1{)}^{1+1}(22)=22$
C12=(−1)1+2(13)=−13$C_{12}=(-1{)}^{1+2}(13)=-13$
C13=(−1)1+3(−16)=−16$C_{13}=(-1{)}^{1+3}(-16)=-16$
C21=(−1)2+1(−3)=3$C_{21}=(-1{)}^{2+1}(-3)=3$
C22=(−1)2+2(9)=9$C_{22}=(-1{)}^{2+2}(9)=9$
C23=(−1)2+3(−5)=5$C_{23}=(-1{)}^{2+3}(-5)=5$
C31=(−1)3+1(17)=17$C_{31}=(-1{)}^{3+1}(17)=17$
C32=(−1)3+2(28)=−28$C_{32}=(-1{)}^{3+2}(28)=-28$
C33=(−1)3+3(2)=2

Invers Matriks

Ordo 2 x 2

Menentukan matriks invers dari!

Jawaban :

Untuk menghitung kebalikan dari matriks, metode cepat digunakan. Sebelum menggunakan rumus matriks terbalik di atas. Pertama-tama kita harus menemukan nilai adjoin dahulu.

Untuk menemukan matriks invers 2×2 yang berdekatan, kita hanya perlu menukar atau memindahkan elemen yang posisinya ada di baris pertama kolom pertama dengan elemen-elemen di baris kedua kolom kedua.

Berikutnya, baris kedua dari kolom pertama dan baris pertama dari kolom kedua dikalikan dengan -1. Hasilnya adalah sebagai berikut.

Selanjutnya, cari determinan matriks
det = (2 × 6) – (4 × 1)
= 12 – 4
= 8

Setelah nilai adjoin dan determinan matriks diketahui. Kemudian masukkan rumus matriks di atas. Hasilnya adalah :

Ordo 3 x 3

Matriks A dikenal sebagai berikut :

Menentukan kebalikan dari matriks di atas A!

Jawaban :