Pengertian Turunan Dan Sifat-Sifatnya Bersama Contoh Soalnya

 Pengertian Turunan

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam Geometri dan Mekanika.

Konsep turunan fungsi secara universal banyak sekali digunakan dalam bidang ekonomi untuk menghitung biaya marjinal, biaya total atau total penerimaan, dalam bidang biologi  untuk menghitung laju pertumbuhan organisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang geografi dan sosiologi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

Sir Isaac Newton(1642 - 1727), salah satu ahli yang mencetuskan penggunaan turunan pada bidang matematika.

Sifat Turunan

1. Jika $f(x)=c$ dimana $c$ adalah konstanta, maka turunannya adalah$f'(x)=0$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=13 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=100 &\rightarrow f'(x)=0 \end{aligned}$

2. Jika $f(x)=cx$, maka turunannya adalah$f'(x)=c$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2x &\rightarrow &f'(x)=2\\ f(x)&=13x &\rightarrow &f'(x)=13\\ f(x)&=100x &\rightarrow &f'(x)=100 \end{aligned}$

3. Jika $f(x)=x^n$ maka turunannya adalah$f'(x)=nx^{n-1}$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=x^4 &\rightarrow &f'(x)=4x^3\\ f(x)&=x^3 &\rightarrow &f'(x)=3x^2\\ f(x)&=x^2 &\rightarrow &f'(x)=2x \end{aligned}$

4. Jika $f(x)=cx^n$maka turunannya adalah$f'(x)=cnx^{n-1}$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2x^4 &\rightarrow &f'(x)=8x^3\\ f(x)&=13x^3 &\rightarrow &f'(x)=39x^2\\ f(x)&=100x^2 &\rightarrow &f'(x)=200x \end{aligned}$

5. Jika $f(x)=c\,u(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=c\,u'(x)$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=4\ln{x}&\rightarrow &f'(x)=4\frac{1}{x}\\ f(x)&=3\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=3\sin{x}\\ f(x)&=2\sin{x}&\rightarrow &f'(x)=-2\cos{x} \end{aligned}$

6. Jika $f(x)=u(x)\pm v(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=u'(x)\pm v'(x)$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2x+x^2&\rightarrow &f'(x)=2+2x\\ f(x)&=x^4-x^3&\rightarrow &f'(x)=4x^3-3x^2\\ f(x)&=\sin{x}+\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=\cos{x}-\sin{x} \end{aligned}$

7. Jika $f(x)=u(x)v(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Contoh:$f(x)=x^4x^3$Misalkan $u(x)=x^4$ dan $v(x)=x^3,$ maka $u'(x)=4x^3$ dan $v'(x)=3x^2,$ sehingga$\begin{aligned} f'(x)&=(4x^3)(x^3)+(x^4)(3x^2)\\ &=4x^6+3x^6\\ &=7x^6 \end{aligned}$

8. Jika $f(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}$ maka turunannya adalah$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

Contoh:$f(x)=\frac{x^4}{x^3}$Misalkan $u(x)=x^4$ dan $v(x)=x^3,$ maka $u'(x)=4x^3$ dan $v'(x)=3x^2,$ sehingga$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{(4x^3)(x^3)-(x^4)(3x^2)}{(x^3)^2}\\ &=\frac{4x^6-3x^6}{x^6}\\ &=1 \end{aligned}$

9. Jika $f(x)={u(x)}^n$ maka turunannya adalah$f'(x)=n(u(x))^{n-1}u'(x)$

Contoh:$f(x)=(2x+x^2)^4$Misalkan $u(x)=2x+x^2,$ sehingga $u'(x)=2+2x,$ maka$f'(x)=4\left(2x+x^2\right)^3(2+2x)$

Sifat-sifat Turunan Logaritma Natural

$\begin{aligned} f(x)&={^c}\log{x}&\rightarrow &f'(x)=\frac{1}{x}.{^c}\log e\\ f(x)&={^c}\log{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.{^c}\log e \end{aligned}$dimana $e$ adalah bilangan euler yang nilainya adalah $e=2\text{,}7182818.$

Sifat-sifat Turunan Logaritma

$\begin{aligned} f(x)&=\sin{x}&\rightarrow&f'(x)=\cos{x}\\ f(x)&=\cos{x}&\rightarrow&f'(x)=-\sin{x}\\ f(x)&=\tan{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec^2{x}\\ f(x)&=\cot{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc^2{x}\\ f(x)&=\sec{x}&\rightarrow&f'(x)=\sec{x}.\tan{x}\\ f(x)&=\csc{x}&\rightarrow&f'(x)=-\csc{x}.\cot{x} \end{aligned}$Perluasan Turunan Fungsi Trigonometri$\begin{aligned} f(x)&=\sin{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\cos{g(x)}\\ f(x)&=\cos{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\sin{g(x)}\\ f(x)&=\tan{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec^2{g(x)}\\ f(x)&=\cot{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc^2{g(x)}\\ f(x)&=\sec{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).\sec{g(x)}.\tan{g(x)}\\ f(x)&=\csc{g(x)}&\rightarrow&f'(x)=g'(x).-\csc{g(x)}.\cot{g(x)} \end{aligned}$

Contoh Soal

Soal Nomor 1
Apabila $f\left(x\right)=x^2-\frac{1}{x}+1$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $x-x^{-2}$
B. $x+x^{-2}$
C. $2x+x^{-2}+1$
D. $2x-x^{-2}+1$
E. $2x+x^{-2}$

Pembahasan

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x^2-\frac{1}{x}+1\\ & =x^2-x^{-1}+1\\ f^{\prime }\left(x\right)& =2x^{2-1}-(-1)x^{-1-1}+0\\ & =2x+x^{-2}\end{array}$
Jadi, hasil dari $f^{\prime }\left(x\right)=2x+x^{-2}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika $g\left(x\right)=\frac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}$, maka $g^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}$
B. $-x^3+3x^2+\frac{1}{2}\sqrt{2x}$
C. $\frac{1}{x^2}+x^2-2$
D. $\frac{1}{x^2}+3x^2-2$
E. $\frac{1}{x^2}+3x^2+\frac{1}{2}\sqrt{2x}$

Pembahasan

Gunakan aturan turunan dasar.
$\begin{array}{cccc}g\left(x\right)& =\frac{1}{x}+x^3-\sqrt{2x}& & \\ & =x^{-1}+x^3-\sqrt{2}{x}^{1/2}& & \\ g^{\prime }\left(x\right)& =-1x^{-1-1}+3x^{3-1}-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}{x}^{1/2-1}& & \\ & =-x^{-2}+3x^2-\frac{1}{2}\sqrt{2}{x}^{-1/2}& & \\ & =-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}& & \\ & =-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}& & \ast \end{array}$
Catatan: $\ast \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Jadi, hasil dari $g^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}+3x^2-\frac{1}{\sqrt{2x}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Jika $R\left(t\right)=t\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}$, maka $\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{3}{2\sqrt{t}}$
B. $\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2\sqrt{t}}$
C. $\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$
D. $\frac{2}{3}\sqrt{t}-\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$
E. $\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}R\left(t\right)& =t\sqrt{t}+\frac{1}{t\sqrt{t}}=t\cdot t^{1/2}+\frac{1}{t\cdot t^{1/2}}\\ & =t^{3/2}+t^{-3/2}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}& =\frac{3}{2}{t}^{3/2-1}-\frac{3}{2}{t}^{-3/2-1}\\ & =\frac{3}{2}{t}^{1/2}-\frac{3}{2}{t}^{-5/2}\\ & \\ & =\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}\end{array}$
Jadi, hasil dari $\frac{\text{d}R\left(t\right)}{\text{d}t}=\frac{3}{2}\sqrt{t}-\frac{3}{2t^2\sqrt{t}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Turunan pertama dari $f\left(x\right)=\frac{4}{x-3}-\frac{6}{x}$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)$. Nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-5$                 C. $4$                 E. $10$
B. $2$                    D. $5$

Pembahasan

Gunakan aturan turunan dasar untuk mencari turunan pertama dari fungsi $f\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =\frac{4}{x-3}-\frac{6}{x}\\ & =4(\underset{u}{\underset{}{x-3}}{)}^{-1}-6x^{-1}\\ f^{\prime }\left(x\right)& =4(-1)(x-3{)}^{-2}\cdot \underset{u^{\prime }}{\underset{}{1}}-6(-1)x^{-2}\\ & =-\frac{4}{(x-3{)}^2}+\frac{6}{x^2}\end{array}$$Substitusi $x=1$ dan kita akan peroleh
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(1\right)& =-\frac{4}{(\left(1\right)-3{)}^2}+\frac{6}{{\left(1\right)}^2}\\ & =-\frac{4}{4}+\frac{6}{1}\\ & =-1+6=5\end{array}$
Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=5$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Turunan pertama dari $H\left(x\right)=x^{2/3}(4x-5)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}+\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
B. $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
C. $\frac{10\sqrt[3]{3x}}{3}-\frac{20}{3\sqrt[3]{3x}}$
D. $\frac{-20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
E. $\frac{4x-5}{3\sqrt[3]{3x}}-\frac{4}{\sqrt[3]{3x}}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}H\left(x\right)& =x^{2/3}(4x-5)\\ & =4x^{2/3}\cdot x-5x^{2/3}\\ & =4x^{5/3}-5x^{2/3}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}{H}^{\prime }\left(x\right)& =4\cdot \frac{5}{3}\cdot x^{5/3-1}-5\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{2/3-1}\\ & =\frac{20}{3}{x}^{2/3}-\frac{10}{3}{x}^{-1/3}\\ & =\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}\end{array}$
Jadi, turunan pertama dari $H\left(x\right)$ adalah $\frac{20\sqrt[3]{3x^2}}{3}-\frac{10}{3\sqrt[3]{3x}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Diberikan $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$. Nilai $f^{\prime }\left(1\right)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $0$                     C. $2$                    E. $5$
B. $1$                     D. $4$

Pembahasan

Diketahui $f\left(r\right)=2r^{\frac{3}{2}}-2r^{\frac{1}{2}}$.
Dengan menggunakan aturan turunan dasar, turunan pertama fungsi $f\left(r\right)$ adalah
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(r\right)& =2\cdot \frac{3}{2}{r}^{\frac{3}{2}-1}-2\cdot \frac{1}{2}{r}^{\frac{1}{2}-1}\\ & =3r^{\frac{1}{2}}-r^{-\frac{1}{2}}\\ & =3\sqrt{r}-\frac{1}{r}\end{array}$
Untuk $r=1$, didapat
$f^{\prime }\left(1\right)=3\sqrt{1}-\frac{1}{1}=3-1=2$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$. Nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$ atau $1$                D. $1$ atau $2$
B. $-1$ atau $0$                E. $1$ atau $3$
C. $0$ atau $2$

Pembahasan

Diketahui $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+2x-6$.
Turunan pertama dari $y$ adalah
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{1}{3}\left(3\right)x^2-\frac{3}{2}\left(2\right)x+2-0\\ & =x^2-3x+2\end{array}$
Misalkan $y^{\prime }=0$, maka kita peroleh
$\begin{array}{cc}{x}^2-3x+2& =0\\ (x-2)(x-1)& =0\\ x=2\text{atau}& x=1\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang membuat $y^{\prime }=0$ adalah $1$ atau $2$.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8

Jika $f\left(m\right)=4+\sqrt[4]{4m^3}+3\sqrt[3]{3m^2}$, maka nilai $f^{\prime }\left(1\right)=\cdots \cdot$
A. $\frac{11}{4}$                 C. $\frac{7}{4}$                  E. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{9}{4}$                   D. $\frac{5}{4}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}f\left(m\right)& =4+\sqrt[4]{4m^3}+3\sqrt[3]{3m^2}\\ & =4+m^{3/4}+3m^{2/3}\end{array}$
Turunan pertama dari $f\left(m\right)$ adalah
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(m\right)& =0+\frac{3}{4}{m}^{3/4-1}+3\cdot \frac{2}{3}{m}^{2/3-1}\\ & =\frac{3}{4}{m}^{-1/4}+2m^{-1/3}\\ & =\frac{3}{4\sqrt[4]{4m}}+\frac{2}{\sqrt[3]{3m}}\end{array}$
Untuk $m=1$, diperoleh
$f^{\prime }\left(1\right)=\frac{3}{4\sqrt[4]{41}}+\frac{2}{\sqrt[3]{31}}=\frac{3}{4}+2=\frac{11}{4}$
Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=\frac{11}{4}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9
Jika turunan pertama dari $y=(x^2+1)(x^3-1)$ adalah $y^{\prime }=a{x}^4+b{x}^2+cx$ dengan $a,b,c\in Z$, maka nilai dari $abc=\cdots \cdot$
A. $-60$                   C. $0$                    E. $60$
B. $-30$                   D. $30$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}y& =(x^2+1)(x^3-1)\\ & =x^5-x^2+x^3-1\end{array}$
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =5x^{5-1}-2x^{2-1}+3x^{3-1}-0\\ & =5x^4-2x+3x^2\\ & =5x^4+3x^2-2x\end{array}$
Karena itu, kita peroleh $a=5$, $b=3$, dan $c=-2$.
Catatan: $Z$ menyatakan simbol untuk himpunan bilangan bulat.
Jadi, $abc=5\left(3\right)(-2)=-30$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Turunan pertama dari $f\left(x\right)=x^2(3x-1{)}^3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x(15x+2)(3x-1{)}^2$
B. $x(15x-2)(3x-1{)}^2$
C. $x(9x+2)(3x-1{)}^2$
D. $x(18x+2)(3x-1{)}^2$
E. $x(18x-2)(3x-1{)}^2$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=x^2(3x-1{)}^3$.
Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
Misalkan
$$\begin{array}{cc}u& =x^2⟹u^{\prime }=2x\\ v& =(\underset{p}{\underset{}{3x-1}}{)}^3⟹v^{\prime }=3(3x-1{)}^2\left(\underset{p^{\prime }}{\underset{}{3}}\right)=9(3x-1{)}^2\end{array}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =\left(2x\right)(3x-1{)}^3+(x^2\left)\right(9(3x-1{)}^2)\\ & =(3x-1{)}^2(2x(3x-1)+9x^2)\\ & =(3x-1{)}^2(6x^2-2x+9x^2)\\ & =(3x-1{)}^2(15x^2-2x)\\ & =x(15x-2)(3x-1{)}^2\end{array}$
Jadi, turunan pertama dari $f\left(x\right)$ adalah $x(15x-2)(3x-1{)}^2$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Jika $y=x\sqrt{2x^2+3}$, maka $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\cdots \cdot$
A. $(4x^2-3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
B. $(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
C. $2x(2x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
D. $x(2x+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
E. $(2x^2+3{)}^{1/2}$

Pembahasan

Diketahui
$\begin{array}{cc}y& =x\sqrt{2x^2+3}\\ & =\sqrt{x^2(2x^2+3)}\\ & =\sqrt{2x^4+3x^2}\\ & =(\underset{u}{\underset{}{2x^4+3x^2}}{)}^{1/2}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh turunan pertama $y$, yaitu
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =\frac{1}{2}(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\cdot (\underset{u^{\prime }}{\underset{}{8x^3+6x}})\\ & =\frac{1}{2}\left(2\right(4x^3+3x\left)\right)(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\\ & =(4x^3+3x)(2x^4+3x^2{)}^{-1/2}\\ & =x(4x^2+3)\cdot \frac{1}{x}(2x^2+3{)}^{-1/2}\\ & =(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}\end{array}$
Jadi, hasil dari $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(4x^2+3)(2x^2+3{)}^{-1/2}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Jika $f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ dengan $x\ne 1$, maka $f^{\prime }\left(x\right)=\cdots \cdot$
A. $\frac{6x-6}{\sqrt{(2x-1{)}^3}}$
B. $\frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}$
C. $2x\sqrt{1-x^2}-\frac{x(x^2+3)}{\sqrt{1-x^2}}$
D. $-\frac{9}{4\sqrt{(3x+2{)}^3}}$
E. $\frac{3x^2-4}{2\sqrt{x^3-4x}}$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=\sqrt{\underset{p}{\underset{}{\frac{x+2}{x-1}}}}$.
Pertama, kita akan mencari turunan dari $p$ terlebih dahulu menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$u=x+2⟹u^{\prime }=1$
$v=x-1⟹v^{\prime }=1$
Turunan dari $p$ adalah
$\begin{array}{cc}{p}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & =\frac{1(x-1)-(x+2)\left(1\right)}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{x-1-x-2}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{-3}{(x-1{)}^2}\end{array}$
Sekarang, akan dicari turunan $f\left(x\right)$ menggunakan aturan rantai.
$$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& ={\left(\underset{p}{\underset{}{\frac{x+2}{x-1}}}\right)}^{1/2}\\ ⟹f^{\prime }\left(x\right)& =\frac{1}{2}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)}^{-1/2}\cdot \underset{p^{\prime }}{\underset{}{\frac{-3}{(x-1{)}^2}}}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}\cdot \frac{-3}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}\end{array}$$Jadi, $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-3}{2(x-1{)}^{3/2}\sqrt{x+2}}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui $f\left(x\right)=|x|$. Jika turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)$, maka nilai dari $f^{\prime }\left(999\right)=\cdots \cdot$
A. $0$                  C. $\frac{1}{999}$                E. $999$
B. $1$                  D. $2$

Pembahasan

Diketahui $y=f\left(x\right)=|x|$.
Akan dicari turunan dari $y$.
$\begin{array}{cc}y& =|x|\\ \text{Kuadratkan}& \text{kedua ruas}\\ y^2& =x^2\\ 2y\frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =2x\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =\frac{x}{y}=\frac{x}{|x|}\end{array}$.
Untuk $x=999$, diperoleh
$f^{\prime }\left(999\right)=\frac{999}{|999|}=1$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Turunan pertama dari $y=(2x+1{)}^5(x+1)$ ditulis sebagai $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$. Jika $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(ax+b{)}^4(cx+d)$ dengan $a,b,c,d$ bilangan bulat positif, maka nilai dari $a+b+c+d=\cdots \cdot$
A. $20$                 C. $26$                 E. $29$
B. $24$                 D. $27$

Pembahasan

Diketahui $y=(2x+1{)}^5(x+1)$.
Gunakan aturan turunan dasar (terutama aturan hasil kali) dan aturan rantai.
$$\begin{array}{cc}u& =(\underset{p}{\underset{}{2x+1}}{)}^5⟹u^{\prime }=5(2x+1{)}^4\left(\underset{p^{\prime }}{\underset{}{2}}\right)=10(2x+1{)}^4\\ v& =x+1⟹v^{\prime }=1\end{array}$$Dengan aturan hasil kali dalam turunan, kita peroleh
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =10(2x+1{)}^4(x+1)+(2x+1{)}^5\left(1\right)\\ & =(2x+1{)}^4(10(x+1)+(2x+1))\\ & =(2x+1{)}^4(10x+10+2x+1)\\ & =(2x+1{)}^4(12x+11)\end{array}$
Karena diketahui $y^{\prime }=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=(ax+b{)}^4(cx+d)$, maka kita dapatkan $a=2$, $b=1$, $c=12$, dan $d=11$, sehingga $a+b+c+d=2+1+12+11=26$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Turunan pertama dari invers fungsi $f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$ adalah $\frac{\text{d}{f}^{-1}\left(x\right)}{\text{d}x}=\cdots \cdot$
A. $-2$                   C. $-\frac{1}{2}$                  E. $2$
B. $-1$                   D. $\frac{1}{2}$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}$.
Pertama, akan dicari invers fungsi $f\left(x\right)$ terlebih dahulu.
Misalkan $f\left(x\right)=y$.
$\begin{array}{cc}y& =\frac{x-1}{2}\\ 2y& =x-1\\ 2y+1& =x\\ 2y+1& =f^{-1}\left(y\right)\\ 2x+1& =f^{-1}\left(x\right)\end{array}$
Jadi, invers fungsi $f\left(x\right)$ adalah $f^{-1}\left(x\right)=2x+1$.
Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan dasar turunan, yaitu $\frac{\text{d}{f}^{-1}\left(x\right)}{\text{d}x}=2$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Invers dari turunan pertama fungsi $f\left(x\right)=3x^2+4x-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{x-4}{6}$                   D. $\frac{6}{x+4}$
B. $\frac{x+4}{6}$                   E. $\frac{x-4}{x+4}$
C. $\frac{6}{x-4}$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=3x^2+4x-2$.
Pertama, kita akan mencari turunan pertamanya dulu.
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(x\right)& =3\left(2\right)x^{2-1}+4\left(1\right)x^{1-1}-0\\ & =6x+4\end{array}$
Selanjutnya, kita akan mencari invers dari $f^{\prime }\left(x\right)=6x+4$.
Misalkan $f^{\prime }\left(x\right)=y$ sehingga
$\text{begin{aligned} y \& = 6x + 4 y-4 \& = 6x x \& = dfrac{y-4}{6} f^{-1}'(y) \& = dfrac{y-4}{6} f^{-1}'(x) \& = dfrac{x-4}{6} end{aligned}}$
Jadi, invers dari turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $\frac{x-4}{6}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Komposisi dan Invers Fungsi

Soal Nomor 17
Jika $P\left(x\right)=\sqrt[3]{3x}$, maka $P\left(x\right)-3x{P}^{\prime }\left(x\right)$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $0$                  C. $2\sqrt[3]{3x}$                 E. $x\sqrt[3]{3x}$
B. $1$                  D. $3\sqrt[3]{3x}$

Pembahasan

Diketahui $P\left(x\right)=\sqrt[3]{3x}=x^{1/3}$.
Turunan pertama dari $P\left(x\right)$ adalah $P^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{1/3-1}=\frac{1}{3}{x}^{-2/3}$.
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}P\left(x\right)-3x{P}^{\prime }\left(x\right)& =\sqrt[3]{3x}-3x\cdot \frac{1}{3})x^{-2/3}\\ & =\sqrt[3]{3x}-x^{-2/3+1}\\ & =\sqrt[3]{3x}-\sqrt[3]{3x}=0\end{array}$
Jadi, hasil dari $P\left(x\right)-3x{P}^{\prime }\left(x\right)=0$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Jika $f\left(\frac{x-3}{2x+1}\right)=x^2+x-2$, maka nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=\cdots \cdot$
A. $-49$                   C. $0$                 E. $49$
B. $-7$                     D. $7$

Pembahasan

Diketahui $f\left(\frac{x-3}{2x+1}\right)=x^2+x-2$.
Pertama, kita cari turunan dari $p=\frac{x-3}{2x+1}$ menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan:
$u=x-3⟹u^{\prime }=1$
$v=2x+1⟹v^{\prime }=2$
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{p}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & =\frac{1(2x+1)-(x-3)\left(2\right)}{(2x+1{)}^2}\\ & =\frac{2x+1-2x+6}{(2x+1{)}^2}\\ & =\frac{7}{(2x+1{)}^2}\end{array}$
Dengan menggunakan aturan rantai, kita akan mencari turunan dari $f\left(x\right)$.
$\begin{array}{cc}f\left(\underset{p}{\underset{}{\frac{x-3}{2x+1}}}\right)& =x^2+x-2\\ ⟹f^{\prime }\left(\frac{x-3}{2x+1}\right)\cdot \underset{p^{\prime }}{\underset{}{\frac{7}{(2x+1{)}^2}}}& =2x+1\end{array}$
Kita akan mencari nilai $f^{\prime }\left(1\right)$, yang berarti
$\begin{array}{cc}\frac{x-3}{2x+1}& =1\\ x-3& =2x+1\\ x& =-4\end{array}$
Substitusi $x=-4$ pada $f^{\prime }\left(\frac{x-3}{2x+1}\right)\cdot \frac{7}{(2x+1{)}^2}=2x+1$ dan kita akan memperoleh
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(\frac{-4-3}{2(-4)+1}\right)\cdot \frac{7}{\left(2\right(-4)+1{)}^2}& =2(-4)+1\\ f^{\prime }\left(1\right)\cdot \frac{7}{49}& =-7\\ f^{\prime }\left(1\right)& =-7\times 7=-49\end{array}$
Jadi, nilai dari $f^{\prime }\left(1\right)=-49$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 19
Jika $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=(g\circ f{)}^{\prime }\left(x\right)$, $g\left(2\right)=g^{\prime }\left(2\right)=2$ dan $f\left(2\right)=1$, maka nilai dari $g^{\prime }\left(1\right)=\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                    E. $5$
B. $2$                    D. $4$

Pembahasan

Diberikan: $g\left(2\right)=g^{\prime }\left(2\right)=2$ dan $f\left(2\right)=1$.
Gunakan aturan rantai.
$\begin{array}{cc}(f\circ g{)}^{\prime }(x)& =(g\circ f{)}^{\prime }(x)\\ \left[f\right(g\left(x\right)){]}^{\prime }& =\left[g\right(f\left(x\right)){]}^{\prime }\\ f^{\prime }\left(g\right(x\left)\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)& =g^{\prime }\left(f\right(x\left)\right)\cdot f^{\prime }\left(x\right)\end{array}$
Sekarang, substitusi $x=2$.
$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }\left(g\right(2\left)\right)\cdot g^{\prime }\left(2\right)& =g^{\prime }\left(f\right(2\left)\right)\cdot f^{\prime }\left(2\right)\\ f^{\prime }\left(2\right)\cdot 2& =g^{\prime }\left(1\right)\cdot f^{\prime }\left(2\right)\\ 2& =g^{\prime }\left(1\right)\end{array}$
Jadi, nilai dari $g^{\prime }\left(1\right)=2$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Laju perubahan fungsi $f\left(x\right)=(x^2-3{)}^2$ pada $x=2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $8$                    C. $5$                  E. $1$
B. $6$                    D. $2$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=(x^2-3{)}^2=x^4-6x^2+9$.
Laju perubahan fungsi pada saat $x=2$ dinyatakan oleh nilai turunan pertama $f\left(x\right)$ saat $x=2$, atau secara matematis, $f^{\prime }\left(2\right)$.
Dengan menggunakan aturan dasar turunan, diperoleh
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =4x^{4-1}-6\left(2\right)x^{2-1}+0\\ & =4x^3-12x\end{array}$
Untuk $x=2$, diperoleh
$f^{\prime }\left(2\right)=4(2{)}^3-12(2)=32-24=8$
Jadi, laju perubahan fungsi $f\left(x\right)$ pada saat $x=2$ adalah $8$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah persegi dengan sisi $x$ memiliki luas $f\left(x\right)$. Nilai $f^{\prime }\left(6\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $36$                C. $10$             E. $6$
B. $12$                D. $8$

Pembahasan

Luas persegi itu dinyatakan oleh
$f\left(x\right)=x\cdot x=x^2$.
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=2x$.
Substitusi $x=6$ dan kita akan memperoleh $f^{\prime }\left(6\right)=2\left(6\right)=12$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Besar populasi di suatu daerah $t$ tahun mendatang ditentukan oleh persamaan $p\left(t\right)={10}^3{t}^2-5\cdot {10}^{2}t+{10}^6$. Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $\cdots \cdot$
A. $10.500$ jiwa per tahun
B. $10.000$ jiwa per tahun
C. $9.500$ jiwa per tahun
D. $9.000$ jiwa per tahun
E. $8.500$ jiwa per tahun

Pembahasan

Diketahui $p\left(t\right)={10}^3{t}^2-5\cdot {10}^{2}t+{10}^6$.
Laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang dinyatakan oleh nilai turunan pertama $p\left(t\right)$ saat $t=5$. Turunan pertamanya adalah
$p^{\prime }\left(t\right)={10}^3\left(2\right)t-5\cdot {10}^2$
Substitusi $t=5$ dan kita akan memperoleh
$\begin{array}{cc}{p}^{\prime }\left(5\right)& ={10}^3\left(2\right)\left(5\right)-5\cdot {10}^2\\ & =10.000-500=9.500\end{array}$
Jadi, laju pertambahan penduduk $5$ tahun mendatang adalah $9.500\text{jiwa/tahun}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23
Dua bilangan bulat $m$ dan $n$ memenuhi hubungan $2m-n=40$. Nilai minimum dari $p=m^2+n^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $320$                    D. $260$
B. $295$                    E. $200$
C. $280$

Pembahasan

Diketahui $2m-n=40$.
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $n=2m-40$.
Karena $p=m^2+n^2$, maka
$\begin{array}{cc}p& =m^2+(2m-40{)}^2\\ & =m^2+(4m^2-160m+1600)\\ & =5m^2-160m+1600\end{array}$
Agar $p$ minimum, turunan pertama $p$ terhadap variabel $m$ harus bernilai $0$.
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}p}{\text{d}m}& =0\\ 10m-160& =0\\ 10m& =160\\ m& =16\end{array}$
$p$ akan minimum saat $m=16$. Ini berarti, nilai $\begin{array}{cc}p& =5m^2-160m+1600\\ & =5(16{)}^2-160(16)+1600\\ & =1280-2560+1600\\ & =320\end{array}$
Jadi, nilai minimum dari $p$ adalah $320$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 24
Jumlah dua bilangan $p$ dan $q$ adalah $6$. Nilai minimum dari $2p^2+q^2=\cdots \cdot$
A. $12$                  C. $20$                   E. $32$
B. $18$                  D. $24$

Pembahasan

Diketahui $p+q=6$.
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $q=6-p$.
Misalkan $z=2p^2+q^2$, maka
$\begin{array}{cc}z& =y^2+(6-p{)}^2\\ & =2p^2+(36-12p+p^2)\\ & =3p^2-12p+36\end{array}$
Agar $z$ minimum, turunan pertama $z$ terhadap variabel $p$ harus bernilai $0$.
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}z}{\text{d}p}& =0\\ 6p-12& =0\\ 6p& =12\\ p& =2\end{array}$
$z$ akan minimum saat $p=2$. Ini berarti, nilai $\begin{array}{cc}z& =3p^2-12p+36\\ & =3(2{)}^2-12(2)+36\\ & =12-24+36\\ & =24\end{array}$
Jadi, nilai minimum dari $2p^2-q^2$ adalah $24$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 25
Jumlah $2$ bilangan bulat positif $x$ dan $y$ adalah $18$. Nilai maksimum dari $xy$ adalah bilangan dua-digit $\overline{ab}$. Hasil dari $a\times b=\cdots \cdot$
A. $0$                   C. $12$                  E. $24$
B. $8$                   D. $16$

Pembahasan

Diketahui $x+y=18$.
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi $y=18-x$.
Misalkan $z=xy$, maka
$\begin{array}{cc}z& =x(18-x)\\ & =18x-x^2\end{array}$
Agar $z$ maksimum, turunan pertama $z$ terhadap variabel $x$ harus bernilai $0$.
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}z}{\text{d}x}& =0\\ 18-2x& =0\\ 2x& =18\\ x& =9\end{array}$
$z$ akan maksimum saat $x=9$. Ini berarti, nilai
$\begin{array}{cc}z& =18x-x^2\\ & =18\left(9\right)-(9{)}^2\\ & =9(18-9)\\ & =81\end{array}$
Jadi, nilai maksimum dari $xy$ adalah $\overline{ab}=81$, artinya $a=8$ dan $b=1$ sehingga $a\times b=8\times 1=8$
(Jawaban B)