Persamaan Garis Singgung pada Kurva dan Garis Normal

 Garis Normal

Contoh Soal 1 :

Tentukan persamaan garis normal pada kurva y = x2 — x + 7 di titik yang berabsis 2

 

Jawab :

x = 2 maka y = 22 — 2 + 7 = 4 — 2 + 7 = 9

Jadi titik singgungnya adalah (2, 9)

Titik yang dilalui garis normal adalah juga (2, 9)

Langkah selanjutnya kita cari gradien garis singgung

m = y’ = 2x — 1

= 2.2 — 1 = 3

Gradien garis singgung m1 = 3

Gradien garis normal m2

Karena gris singgung tegak lurus garisn normal maka

m1.m2 = –1

3m2 = — 1

m2 = –⅓

maka persamaan garis normalnya adalah

y — y1 = m2(x — x1)

y — 9 = –⅓(x — 2)

3y — 27 = — x + 2

x + 3y = 29

 

Contoh Soal 2 :

Tentukan persamaan garis normal pada kurva y = x3 — 20 di titik yang berordinat 7

 

Jawab :

y = 7

maka

x3 — 20 = 7

x3 = 27

x = 3

Gradien garis singgung

m1 = y’ = 3x2 = 3.32 = 27

maka

m1.m2 = — 1

27m2 = — 1

m2 = — 1/27

 

maka persamaan garis normalnya adalah

y — y1 = m2(x — x1)

y — 7 = — 1/27 (x — 3)

27y — 189 = — x + 3

x + 27y = 192

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan persamaan garis normal pada kurva y = x4 + 8 yang bergradien — ¼

 

Jawab :

m2 = –¼

maka

m1.m2 = — 1

m1 (–¼) = — 1

m1 = 4

y’ = 4

4x3 = 4

x3 = 1

x = 1

y = x4 + 8 = 14 + 8 = 9

y — y1 = m2(x — x1)

y — 9 = –¼ (x — 1)

4y — 36 = — x + 1

x + 4y = 37


Garis Singgung

Soal No.1
Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x2 – 8x + 4 di titik(2, 8) ?

Pembahasan
Titik singgung dititik (2, 8), maka x1 = 2
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12


Soal No.2
Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = x2 + 2x di titik (1,3)

Pembahasan
f(x) = x2 + 2x
f'(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
m = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1


Soal No.3
Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x - 3x2 di titik dengan absis 2

Pembahasan
Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x - 3x2
y = 2(2) − 3(2)2
y = −8
Jadi titik singgung : (2, −8)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x − 3x2
f '(x) = 2 − 6x
m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
m = −10

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12


Soal No.4
Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x3 - 4x2 di titik berabsis 2

Pembahasan
Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x3 - 4x2
y = 2(2)3 − 4(2)2
y = 16 - 16
y = 0
Jadi titik singgung : (2, 0)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x3 - 4x2
f '(x) = 6x2 - 8x
m = f '(2) = 6(2)2 − 8(2)
m = 24 - 16
m = 8

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 0 = 8(x − 2)
y = 8x - 16


Soal No.5
Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = x2 di titik berabsis -2

Pembahasan
Absis itu adalah sumbu-x, jadi x = -2:

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = -2
y = x2
y = (-2)2
y = 4
Jadi titik singgung : (-2, 4)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x2
f '(x) = 2x
m = f '(-2) = 2(-2)
m = -4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 4 = -4(x − (-2))
y - 4 = -4x - 8
y = -4x - 4


Soal No.6
Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = 3 + 2x - x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3

Pembahasan
Langkah 1 : Cari nilai m1
y = 3 + 2x - x2
m1 = f'(x) = -2x + 2
m1 = -2x + 2

Langkah 2 : Cari nilai m2
4x + y = 3
y = -4x + 3
m2 = -4 (Inga !! Jika y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis saling sejajar maka berlaku :
m1 = m2
-2x + 2 = -4
-2x = -6
x = 3
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 3
y = 3 + 2x - x2
y = 3 + 2(3) - 32
y = 3 + 6 - 9
y = 0

Sekarang kita telah memiliki titik singgung (3,0)

Langkah 4: Persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y - 0 = -4(x - 3)
y = -4x + 12


Soal No.7
Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Pembahasan
Ordinat itu adalah sumbu-y, jadi y = 18

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 18
y = x3 + 10
18 = x3 + 10
x3 = 18 - 10
x3 = 8
x = 2
Jadi titik singgung : (2,18)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x3 + 10
f'(x) = 3x2
m = f'(2) = 3(2)2
m = 12

Jadi,Persamaan garis singgungnya adalah y – y1 = m(x – x1)
y - 18 = 12(x - 2)
y - 8 = 12x - 24
y = 12x - 16


Soal No.8
Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - x + 3 di titik yang berordinat 5 ?

Pembahasan
Ordinat itu adalah sumbu-y, jadi y = 5

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 5
y = x2 - x + 3
5 = x2 - x + 3
x2 - x + 3 - 5 = 0
x2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Jadi terdapat dua titik singgung : (2,5) atau (-1,5)

Langkah 2: Cari nilai gradien
Nilai gradien untuk x = 2
f(x) = x2 - x + 3
f'(x) = 2x - 1
m = f'(2) = 2(2) - 1
m = 3

Nilai gradien untuk x = -1
f(x) = x2 - x + 3
f'(x) = 2x - 1
m = f'(-1) = 2(-1) - 1
m = -3

Langkah 3: Menentukan persamaan garis singgung
Karena kita memiliki dua titik singgung, tentunya akan ada dua persamaan garis singgung

Persamaan garis singgungnya untuk titik (2,5) dengan m = 3
y – y1 = m(x – x1)
y - 5 = 3(x - 2)
y = 3x - 6 + 5
y = 3x - 1

Persamaan garis singgungnya untuk titik (-1,5) dengan m = -3
y – y1 = m(x – x1)
y - 5 = -3(x - (-1))
y - 5 = -3x - 3
y = -3x + 2

Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = 3x - 1 atau y = -3x + 2


Soal No.9
Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - 5x + 6 jika gradien garis singgungnya adalah 3 ?

Pembahasan
Langkah 1: Cari titik singgungnya
f(x) = x2 - 5x + 6
f'(x) = 2x - 5
m = f'(x)
3 = 2x - 5
2x = 3 + 5
x = 4

y = x2 - 5x + 6
y = 42 - 5(4) + 6
y = 16 - 20 + 6
y = 2

Jadi titik singgung : (4,2)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y - 2 = 3(x - 4)
y - 2 = 3x - 12
y = 3x - 10


Soal No.10
Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x3 - 3x2 - 5x + 10 jika gradien garis singgungnya adalah 4 ?

Pembahasan
Langkah 1: Cari titik singgungnya f(x) = x3 - 3x2 - 5x + 10
f'(x) = 3x2 - 6x - 5
m = f'(x)
4 = 3x2 - 6x - 5
3x2 - 6x - 9 = 0 (lalu kita bagi 3)
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = -2

Untuk x = 3
y = x3 - 3x2 - 5x + 10
y = 33 - 3(3)2 - 5(3) + 10
y = 27 -27 - 15 + 10
y = -5
Titik singgung pertama (3,-5)

Untuk x = -2
y = x3 - 3x2 - 5x + 10
y = (-2)3 - 3(-2)2 - 5(-2) + 10
y = -8 - 12 + 10 + 10
y = 0
Titik singgung kedua (-2,0)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
Untuk titik singgung pertama (3,-5)
y – y1 = m(x – x1)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17

Untuk titik singgung kedua (-2,0)
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8

Jadi ada dua persamaan garis singgung yaitu :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8


Soal No.11
Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 3 - x2 yang tegak lurus terhadap garis 4y = x + 1 ?

Pembahasan
Langkah 1 : Cari nilai m1
y = 3 - x2
m1 = f'(x) = -2x
m1 = -2x

Langkah 2 : Cari nilai m2
4y = x + 1
y = 
14
x + 
14

m2 = 
14
(Ingat !! Jika y = ax + b ⇒ m = a)

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis tegak lurus maka berlaku :
m1 . m2 = -1
m1 . 
14
 = -1
m1 = -4

Masukkan nilai m1 ke dalam persamaan langkah-1 :
m1 = -2x
-4 = -2x
x = 2

Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 2
y = 3 - x2
y = 3 - 22
y = 3 - 4
y = -1
Jadi titik singgungnya : (2,-1)

Langkah 5 : Menentukan persamaan garis singgung
y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = -4(x - 2)
y + 1 = -4x + 8
y = -4x + 7

Jadi persamaan garis singgungnya : y = -4x + 7


Soal No.12
Persamaan garis menyinggung kurva y = x2 - 3x - 4 di titik (4,0) adalah .....
a. y = 5x + 20
b. y = 5x - 20
c. y = -5x + 20
d. y = -5x - 20

Pembahasan
y = x2 - 3x - 4
y' = 2x - 3
m = y '(4) = 2(4) - 3 = 5
m = 5

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y - 0 = 5 (x - 4)
y = 5x - 20

Jawab c:


Soal No.13
Tentukan gradien garis dengan persamaan berikut :
1.) y = 2x - 8
2.) 4x - 2y + 6 = 0
3.) 3y = 6x - 1
4.) 7x - 14y + 2 = 0

Pembahasan
1.) Untuk Persamaan : y = 2x - 8
Jika persamaan y = ax + b ⇒ m = a
y = 2x - 8
m = 2

2.) Untuk Persamaan : 4x - 2y + 6 = 0
Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -
ab

4x - 2y + 6 = 0
m = -
4-2

m = -(-2)
m = 2

3.) Untuk Persamaan : 3y = 6x - 1
Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -
ab

3y = 6x - 1
6x - 3y - 1 = 0
m = -
6-3

m = -(-2)
m = 2

4.) Untuk Persamaan : 7x - 14y + 2 = 0
Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -
ab

7x - 14y + 2 = 0
m = -
7-14

m = -
1-2

m = 
12

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Materi Pembelajaran Matematika Yang Disukai Pada Semester Tahun Ini

Materi Pembelajaran Matematika Yang Disukai Pada Semester Tahun Ini Materi Matematika Favorit Dinda Az Zahra Fitri Noviyanda (10) X IPS 3 hallo teman - teman semua...  aku salah satu murid SMAN 63 Jakarta dan aku juga salah satu   murid dari Bu Liza guru matematika di SMAN 63 Jakarta. Disini aku mau cerita tentang materi pelajaran matematika selama aku duduk di kelas 10. Memang benar materi pelajaran matematika nya semakin sulit, banyak rumus yang harus dihapal,  soal - soal yang semakin ribet dan sulit, dan juga terkadang tidak mendapatkan jawaban dari soal yang di kerjakan. Jujur hal  itu yang buat aku kadang gak suka sama matematika. Tapi percaya lah dulu aku sangat gemar matematika. Matematika menjadi salah satu pelajaran yang sangat aku sukai, tetapi saat aku mulai naik kelas ke tingkat yang lebih tinggi materi matematika pun tingkat kesusahannya juga semakin menigkat. Materi matematika saat ini yang aku gemari adalah 'TRIGO...
Baca selengkapnya

Soal Kontekstual yang Berhubungan dengan Turunan

Gambar
Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya yang Berkaitan dengan Turunan dalam Kehidupan Sehari-hari (Kontekstual) 1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) =  5x² – 3x  di titik (2, 14) adalah. . .  a. y = 17x - 20 b. y = 15x - 17 c. y = 16x - 14 d. y = 20x - 19 e. y = 25x - 20 Jawaban : Jadi, jawabannya A 2. Tentukan koordinat titik singgung dari garis singgung kurva y = f ( x ) = 3x² – 3x + 1 yang bergradien 15 adalah . . . Jawaban : a. T(1,8) b. T(3,19) c.T(6,27) d.T(9,32) e.T(12,42) Jadi, jawabannya B 3. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x² + 2x – 3 yang sejajar garis y = -2x + 5 adalah. . . Jawaban :  a. y = -7x - 12 b. y = -6x - 3 c. y = -2x - 7 d. y = -5x - 10 e. y = -10x - 9 Jadi, jawabannya C 4. Tentukan persamaan garis singgung kurva f ( x ) = x² + 4x + 2 yang tegak lurus garis x – 2y + 6 = 0 adalah . . . Jawaban :  a. y = -x + 2 b. y = -5x + 3 c. y = -10x + 5 d. y = -2x + 1 e. y = -4x + 8 Jadi, jawabannya D 5.  Fungsi ...
Baca selengkapnya