Limit Dan Konsep Limit Fungsi Aljabar

 Limit Fungsi Aljabar

Bentuk umum fungsi aljabar

Limit suatu fungsi terdiri dari f(x), batas x untuk dimasukkan ke dalam fungsi. Bentuk umum dari limit fungsi aljabar ditunjukkan pada gambar 1.

Limit fungsi aljabar terdiri dari jenis bagian yaitu nilai x mendekati satu titik dan nilai x mendekati tak berhingga (∞). Cara penyelesaian nilai x mendekati berhingga adalah dengan substitusi, pemfaktoran, dan dikalikan dengan sekawannya. Sedangkan untuk limit fungsi aljabar di mana x mendekati tak berhingga penyelesainnya yaitu dengan dibagi variabel pangkat tertinggi dan dikalikan sekawan akarnya.  Hasil perhitungan dari limit fungsi aljabar tidak boleh 0/0 karena nilainya tidak akan terdefinisi. 

Cara Menghitung Nilai X Mendekati Satu Titik

1. Strategi Substitusi

Tahapan pertama untuk menyelesaikan suatu limit di satu titik (nilai berhingga) adalah substitusi langsung. Jika dari hasil substitusi langsung tidak diperoleh nilai dengan bentuk tak tentu seperti di bawah ini, maka nilai tersebut adalah menunjukan nilai dari limit yang bersangkutan.  

Contoh soal:

2. Strategi Faktorisasi

Apabila hasil substitusi langsung diperoleh nilai bentuk tak tentu, maka kita harus memfaktorkannya sehingga bentuknya menjadi bukan bentuk tak tentu, kemudian kita lanjutkan menggunakan strategi substitusi langsung sehingga diperoleh hasilnya.

Contoh soal: 

3. Strategi Mengalikan dengan Bentuk Sekawan

Strategi mengalikan dengan bentuk sekawan dilakukan pada limit berbentuk irasional. Hal ini dilakukan jika sebelumnya kita menggunakan strategi substitusi langsung dan strategi faktorisasi, hasil keduanya adalah bentuk tak tentu. Setelah perkalian itu disederhanakan, maka kita menggunakan strategi substitusi langsung lagi, sehingga diperoleh hasilnya. 

Contoh soal:

Cara Menghitung Nilai X Tak Berhingga

Ada beberapa cara untuk menentukan jawaban dari limit fungsi aljabar di mana nilai x tak berhingga yaitu: a. strategi substitusi langsung, strategi membagi dengan pangkat tertinggi, strategi mengalikan dengan bentuk sekawan, dan strategi faktorisasi.

1. Strategi substitusi langsung

 

 

2. Strategi membagi dengan pangkat tertinggi 

3. Strategi mengalikan dengan bentuk sekawan

Apabila solusi limit bentuk irasional dengan menggunakan strategi substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, maka langkah selanjutnya kita menggunakan strategi mengalikan dengan bentuk sekawan, kemudian dilanjutkan dengan strategi membagi dengan pangkat tertinggi. Jika nilai f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi irasional, maka 

 

• F(x) + g(x) bentuk sekawannya adalah f(x) – g(x)

 

• F(x) – g(x) bentuk sekawannya adalah f(x) + g(x)

 

 

Contoh soal: Hitunglah nilai limit berikut ini

Solusi Quipper (SUPER)

Dalam penyelesaian limit fungsi aljabar untuk x di satu titik atau x mendekati tak hingga terdapat cara mudah dan singkat dalam proses penyelesainnya, yaitu dengan solusi Quipper atau SUPER. SUPER untuk proses penyelesaian limit fungsi aljabar adalah sebagai berikut: 

Untuk limit di x mendekati tak berhingga yaitu: 

Tentukan nilai limit di bawah ini menggunakan SOLUSI SUPER: 

Karena nilai m =n yaitu pangkat 2, maka diperoleh : 

Nilai tersebut sama dengan menggunakan cara pangkat tertinggi.

Cara SOLUSI SUPER pengganti mengalikan dengan bentuk sekawan yaitu: 

Contoh soal:

Ada langkah SUPER juga untuk menyelesaikan persoalan limit fungsi aljabar yaitu menggunakan konsep turunan atau sering dikenal dengan nama teorema L’Hopital. Teorema L’Hopital adalah sebagai berikut: 

Teorema L’hopital. Teorema L’hopital adalah penyelesaian suatu limit menggunakan konsep diferensial/turunan. Apabila dalam penyelesaian diferensial yang pertama masih menghasilkan bentuk tak tentu, maka dilanjutkan dengan turunan kedua dan seterusnya sehingga menghasilkan nilai yang pasti. 

F’(x) dan g’(x) = adalah turunan fungsi pertama.

Contoh soal: Tentukan nilai dari limit berikut menggunakan teorema L’Hopital:

Jawabannya yang diperoleh menggunakan teorema L’hopital sama dengan cara substitusi langsung, namun perbedaanya adalah hasil yang diperoleh lebih cepat. 

Dalam penyelesaian, bentuk limit yang mengandung akar seperti di bawah ini: 

Penyelesaian bentuk limit akan menghasilkan suatu nilai yang tak tentu 0/0. Apabila terdapat bentuk soal di atas, kita harus memodifikasinya menggunakan konsep aturan L’Hopital sehingga hasil modifikasi fungsi akar tersebut bentuknya akan menjadi seperti di bawah ini: 

Latihan Soal

Bagaimana quipperian sudah mulai tidak sabar untuk mengerjakan soal selanjutnya? Berikut ini beberapa contoh soal dari Quipper Video.

1. Limit fungsi aljabar menggunakan perkalian sekawan

Cara penyelesaian: 

2. Limit fungsi aljabar menggunakan SUPER dan pangkat tertinggi

Cara penyelesaian:

3. Limit Aljabar menggunakan SUPER dan perkalian sekawan

Cara penyelesaian:

4. Penyelesaian limit fungsi aljabar menggunakan SUPER dan perkalian sekawan

Cara penyelesaian: 

Konsep Limit Fungsi Aljabar

Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit. Mengapa harus ada limit? limit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati. Mengapa harus didekati? karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisi pada titik-titik tertentu. Walaupun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, namun masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu semakin didekati yaitu dengan limit.

Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan:

Maksudnya, apabila x mendekati a namun x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L. Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu sisi kiri dan sisi kanan atau dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga menghasilkan limit kiri dan limit kanan.

Toerema / Pernyataan:

Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit apabila antara limit kiri dan limit kananya mempunyai besar nilai yang sama dan apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama maka nilai limitnya tidak ada.

B. Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.

C. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

Bentuk kedua

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran.

1. Cara Substitusi

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya. Berikut adalah beberapa contoh yang dapat dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 4:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 5:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari,

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 6:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 7:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

2. Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:

Cara pemfaktoran dilakukan dengan langkah menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebuntya. Berikut beberapa contoh untuk dipahami.

Contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 4:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 5:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang kedua ada beberapa cara dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan.

1. Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut

contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang  dan penyebut dalam soal ini adalah 2, maka

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh 2:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 3, maka

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

Contoh soal 3:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal ini adalah 3, maka

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

2. Metode mengalikan dengan faktor sekawan

 Contoh soal:

Tentukan nilai limit dari

 

 

Langkah awal yang perlu dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit yaitu dengan mensubtitusikan x=c ke f(x), sehingga dalam kasus ini substitusikan
x=4 ke 

Setelah disubstitusikan ternyata nilai limit tersebut tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak tentu. Maka dari itu untuk menentukan nilai suatu limit harus menggunakan metode lain.  Apabila diperhatikan, pada f(x) terdapat bentuk akar yaitu sehingga metode perkalian dengan akar sekawaran dapat dilakukan pada kasus seperti ini.

 

Bentuk dapat difaktorkan menjadi 

Jadi, nilai limit fungsi aljabar tersebut adalah -4